由一道中考题引发的思考

2007年山西中考题第20题．如图，直线L是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到L的距离分别为2千米、5千米，欲在L上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的（   ）．

P

M

M

M

M

Q

l

l

l

l

P

Q

P

Q

P

Q

P

Q

A

B

C

D

(第20题图)

l

 

按照考生平时练习这种习题的常规模式，绝大多数考生都毫不犹豫地选B,使得阳泉市的得分率仅为7%。但此题和平时练习题题是有明显不同的。以前练习过的题目是：“要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A.B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管成最短？” （人教版八年级上P131）

显然不同点是07年中考题中增加了三个已知量，难道这些就是多余的吗？事实上在方案“A”中，PM+PQ=2+8=10Km.在方案“B ”中由勾股定理P’M+MQ=

P’M+MQ= P’Q= √104㎞   ∵√104＞10   ∴选A.

到此问题已经澄清了。可是我们再换一些数据来看结论会发生怎样的变化？于是，下面通过计算来说到它们的一般情况

如图，设点P到L的距离为a,点Q到L的距离为b且a≤b, PQ距离为d. 在方案A中，作QE⊥L, P’E⊥BE垂足为E.易知 P’E²=PF²=d²-(b-a)². P’Q²= P’E²+QE²=d²-(b-a)²+(a+b)²=d²+4ab.∴P’Q=√d²+4ab

方案A与方案B哪个更短呢?

若P’Q=PM+PQ 时,  即√d²+4ab=a+d,  d =2b-a\2

若P’Q﹥PM+PQ时, 即√d²+4ab﹥a+d,  d﹤2b-m\2

若P’Q﹤PM+PQ时, 即√d²+4ab﹤a+d,  d﹤2b-m\2

由此可见, 方案A与方案B那种方案最短的可根据点P点Q到直线的距离及PQ的大小关系来确定.因此平时在教学中可引导学生经常反思，弄清楚习题变式后结构是否发生变化；弄清楚题与题的联系与区别,针对不同情况采用不同的策略,才能摆脱思维受原题束缚，跳不出原来的框框，对题中变化的条件视而不见，仍按原来的思路进行分析和解答数学问题的现象。